Números Naturais: Parte 2

Múltiplos de números Naturais

Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número natural k tal que:

a = k × b

Exemplos:

(a) 15 é múltiplo de 5, pois 15=3×5.
(b) 24 é múltiplo de 4, pois 24=6×4.
(c) 24 é múltiplo de 6, pois 24=4×6.
(d) 27 é múltiplo de 9, pois 27=3×9.

Se a=k×b, então a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois:

35=7×5

Se a=k×b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis. Para obter os múltiplos de 2, isto é, os números da forma a=k×2 onde k é substituído por todos os números naturais possíveis. A tabela abaixo nos auxiliará:

0=0×2, 2=1×2, 4=2×2, 6=3×2, 8=4×2, 10=5×2, 12=6×2

O conjunto dos números naturais é infinito, assim existem infinitos múltiplos para qualquer número natural. Se y é um número natural, o conjunto de todos os múltiplos de y, será denotado por M(y). Por exemplo:

M(7)={ 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ... }
M(11)={ 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, ... }

Observação: Como estamos considerando 0 como um número natural, então o zero será múltiplo de todo número natural. Tomando k=0 em a=k.b obtemos a=0 para todo b natural. Por exemplo:

0=0×2,  0=0×5,  0=0×12,  0=0×15

Observação: Um número b é múltiplo dele mesmo.

a = 1 × b   se, e somente se,    a = b

Por exemplo, basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para obter um múltiplo dele próprio, como: 3=1x3, 5=1x5 e 15=1x15.

Divisores de números Naturais

A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b.

Exemplo: 3 é divisor de 15, pois 15=3×5, logo 15 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5.

Um número natural tem uma quantidade finita de divisores. Por exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos números naturais não podemos dividir 6 por um número maior do que ele.

Os divisores de um número y também formam um conjunto finito, aqui denotado por D(y).

Exemplos:

(a) Divisores de  6: D(6)={1,2,3,6}
(b) Divisores de 18: D(18)={1,2,3,6,9,18}
(c) Divisores de 15: D(15)={1,3,5,15}

Observação: O número zero é múltiplo de todo número natural e além disso, zero não divide qualquer número natural, exceto ele próprio.

Se aceitarmos que 6÷0=b, então teremos que admitir que:

6 = 0 x b

mas não existe um número b que multiplicado por 0 (zero) seja igual a 6, portanto a divisão de 6 por 0 é impossível.

A divisão de 0/0 (zero por zero) é indeterminada, o que significa que pode existir uma situação que ela passe a ter significado, no sentido seguinte:

Se aceitarmos que 0÷0=X, então poderemos escrever que:

0 ÷ 0 = X ÷ 1

Como temos uma igualdade de frações, gerando uma proporção, deveremos aceitar que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos nesta proporção e assim:

0 × 1 = 0 × X = 0

que não é contraditório e isto pode ser realizado para todo X real, razão pela qual a expressão da forma 0÷0 é dita indeterminada.

Números primos

Um número primo é um número natural com exatamente dois divisores naturais distintos.

Exemplos:

(a) 1 não é primo pois D(1)={1}
(b) 2 é primo pois D(2)={1,2}
(c) 3 é primo pois D(3)={1,3}
(d) 5 é primo pois D(5)={1,5}
(e) 7 é primo pois D(7)={1,7}
(f) 14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14}

Observação: 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor e todo número natural pode ser escrito como o produto de números primos, de forma única.

Crivo de Eratóstenes

É um processo para obter números primos menores do que um determinado número natural n. Devemos construir uma tabela contendo os primeiros n números naturais. Para determinar os números primos nesta tabela, basta seguir os seguintes passos.

1. Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um número primo.

2. Marcamos o número 2, que é o primeiro número primo e eliminamos todos os múltiplos de 2 que encontrarmos na tabela.

3. Marcamos o número 3 e eliminamos todos os múltiplos de 3 que encontrarmos na tabela.

4. Determinamos o próximo número primo, que será o próximo número não marcado da tabela e eliminamos todos os múltiplos desse número primo que encontrarmos na tabela.

5. Continuamos o processo, sempre voltando ao passo anterior, com o próximo número primo.

6. Os números que não foram eliminados são os números primos.

Na tabela, listamos os 100 primeiros números naturais, indicando com a cor mais forte os números primos e com a cor clara os números que não são primos. Como exemplo, 2 é primo, enquanto 25 não é primo, pois é múltiplo de 5.

No quadro abaixo, mostramos os números primos menores do que 100, obtidos pelo crivo de Eratóstenes.

P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}

Mínimo Múltiplo Comum

Diz-se que um número m é múltiplo comum dos número a e b se m é múltiplo de a e também é múltiplo de b, ou seja.

m = k × a   e    m = w × b

onde k e w números naturais.

Exemplos: Múltiplos comuns

(a) 24 é múltiplo comum de 6 e 8.
(b) 15 é múltiplo comum de 3 e 5.

Determinaremos agora todos os números que tem 18 como múltiplo comum, o que é o mesmo que obter todos os divisores naturais de 18.

18 é múltiplo comum de 1 e 18 pois 18=1x18
18 é múltiplo comum de 2 e  9 pois  18=2x9
18 é múltiplo comum de 3 e  6 pois  18=3x6

O número 18 é múltiplo comum de todos os seus divisores, logo:

D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9,18 }

Agora obteremos os múltiplos comuns dos números a e b. Para isso denotaremos por M(a) o conjunto dos múltiplos de a, por M(b) o conjunto dos múltiplos de b e tomaremos a interseção entre os conjuntos M(a) e M(b).

Exemplo: Múltiplos comuns de 3 e 5.

M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...}
M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...}
M(3)M(5)={0,15,30,45,...}

Como estamos considerando 0 (zero) como número natural, ele irá fazer parte dos conjuntos de todos os múltiplos de números naturais e será sempre o menor múltiplo comum, mas por definição, o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números naturais é o menor múltiplo comum a esses números que é diferente de zero. Logo, no conjunto:

M(3)M(5)={0, 15, 30, 45, ...}

o Mínimo Múltiplo Comum entre 3 e 5 é igual a 15.

Ao trabalhar com dois números a e b, utilizamos a notação MMC(a,b) para representar o Mínimo Múltiplo Comum entre os números naturais a e b, lembrando sempre que o menor múltiplo comum deve ser diferente de zero. Por exemplo:

M(4)={0,4,8,12,16,20,24,...}
M(6)={ 0, 6, 12, 18, 24, ...}
MMC(4,6)=min {12,24,36,...}=12

O conjunto dos múltiplos do MMC(a,b) é igual ao conjunto dos múltiplos comuns de a e b. Por exemplo, se a=3 e b=5:

M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...}
M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...}
M(3)M(5)={0,15,30,45,...}
M(15)={0,15,30,45,60,...}

Observe que M(15)=M(3)M(5)

Método prático para obter o MMC

Do ponto de vista didático, o processo acima é excelente para mostrar o significado do MMC mas existe um método prático para realizar tal tarefa sem trabalhar com conjuntos.

1. Em um papel faça um traço vertical, de forma que sobre espaço livre tanto à direita como à esquerda do traço.

   			|
   			|
   			|

2. À esquerda do traço escreva os números naturais como uma lista, separados por vírgulas, para obter o MMC(a,b,c,...). Por exemplo, tomaremos 12, 22 e 28 do lado esquerdo do traço vertical e do lado direito do traço poremos o menor número primo que divide algum dos números da lista que está à esquerda. Aqui usamos o 2.

   12	22	28	|	2
   			|
   			|

3. Dividimos todos os números da lista da esquerda, que são múltiplos do número primo que está à direita do traço, criando uma nova lista debaixo da lista anterior com os valores resultantes das divisões (possíveis) e com os números que não foram divididos.

   12	22	28	|	2
   6	11	14	|
   			|
   			|

4. Repetimos a partir do passo 3 até que os valores da lista que está do lado esquerdo do traço se tornem todos iguais a um.

   12	22	28	|	2
   6	11	14	|	2
   3	11	7	|	3
   1	11	7	|	7
   1	11	1	|	11
   1	1	1	|	924

5. O MMC é o produto dos números primos que colocamos do lado direito do traço e neste caso: MMC(12,22,28)=924.

Exemplo: Obtemos o MMC dos números 12 e 15, com a tabela:

e depois dividimos todos os números da lista da esquerda pelos números primos (quando a divisão for possível), criando novas listas sob as listas anteriores. O MMC(12,15)=60 é o produto de todos os números primos que colocamos do lado direito do traço.

Máximo Divisor Comum

Para obter o Máximo Divisor Comum devemos introduzir o conceito de divisor comum a vários números naturais. Um número d é divisor comum de outros dois números naturais a e b se, d divide a e d divide b simultaneamente. Isto significa que devem existir k₁ e k₂ naturais tal que:

a = k₁ × d    e   b = k₂ × d

Exemplos: Divisores comuns.

(a) 8 divide 24 e 56, pois 24=3x8 e 56=7x8.
(b) 3 divide 15 e 36, pois 15=5x3 e 36=12x3.

Observação: Um número d é divisor de todos os seus múltiplos. O conjunto dos divisores comuns de dois números é finito, pois o conjunto dos divisores de um número é finito. O conjunto dos divisores de um número natural y, será denotado por D(y).

Obteremos agora os divisores comuns aos números 16 e 24, isto é, obteremos a interseção entre os conjunto D(16) e D(24).

D(16)={ 1, 2, 4, 8, 16 }
D(24)={ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
D(16)D(24)={1, 2, 4, 8}

Ocorre que o menor divisor comum entre os números 16 e 24, é 1, assim não interessa o menor divisor comum mas sim o maior divisor que pertence simultaneamente aos dois conjuntos de divisores.

Denotaremos por MDC(a,b), o Máximo Divisor Comum entre os números naturais a e b. Por exemplo, tomemos os conjuntos de divisores D(16)={1,2,4,8,16} e D(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}, então:

MDC(16,24)=max( D(16)D(24))=8

Método prático para obter o MDC

De forma similar ao cálculo do MMC(a,b), temos também um procedimento prático para determinar o MDC(a,b) entre dois números naturais, pois encontrar conjuntos de divisores para cada número pode ser trabalhoso. Para introduzir este método, determinaremos o MDC entre os números 30 e 72, a título de exemplo.

1. Construímos uma grade com 3 linhas e algumas colunas, pondo os números dados na linha do meio. Na primeira coluna coloque o maior deles e na segunda coluna o menor.

   72	30

2. Realizamos a divisão do maior pelo menor colocando o quociente no espaço sobre o número menor na primeira linha e o resto da divisão no espaço logo abaixo do maior número na terceira linha.

   	2
   72	30
   12

3. Passamos o resto da divisão para o espaço localizado à direita do menor número na linha central.

   	2
   72	30	12
   12

4. Realizamos agora a divisão do número 30, pelo resto obtido anteriormente que é 12. Novamente, o quociente será colocado sobre o número 12 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 30.

   	2	2
   72	30	12
   12	6

5. Realizamos agora a (última!) divisão do número 12, pelo resto obtido anteriormente que é 6. De novo, o quociente será posto sobre o número 6 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 12.

   	2	2	2
   72	30	12	6
   12	6	0

6. Como o resto da última divisão é 0 (zero), o último quociente obtido representa o MDC entre 30 e 72, logo denotamos tal fato por:

   MDC(30,72) = 6

Exercícios:

1. Se a diferença entre dois números naturais é 126 e o máximo divisor comum entre eles é 18, quais são esses números?

   Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser múltiplos de 18 e podem ser escritos na forma X=18a e Y=18b onde a e b devem ser determinados. Assim: 18a-18b=126, de onde segue que 18(a-b)=18×7, o que é equivalente a: a-b=7. Tomando a=8 e b=1 teremos X=144 e Y=18.

2. Se a soma de dois números naturais é 420 e o máximo divisor comum entre eles é 60, quais são esses números?

   Solução: Sejam X e Y os números procurados. Se MDC(X,Y)=60, os números X e Y devem ser múltiplos de 60, logo podem ser escritos na forma X=60a e Y=60b onde a e b são números inteiros positivos. Assim: 60a+60b=420, o que garante que a+b=7. Devemos escolher números naturais tal que a+b=7, e assim, temos várias opções.

   Se a=6 e b=1 então X=360 e Y= 60
   Se a=5 e b=2 então X=300 e Y=120
   Se a=4 e b=3 então X=240 e Y=180
   Se a=3 e b=4 então X=180 e Y=240
   Se a=2 e b=5 então X=120 e Y=300
   Se a=1 e b=6 então X= 60 e Y=360
   

3. Se a divisão entre dois números naturais é igual a 6/5 e o máximo divisor comum entre eles é 15, quais são esses números?

   Solução: Sejam X e Y os números procurados. Se MDC(X,Y)=15, então X e Y devem ser múltiplos de 15, logo podem ser escritos na forma X=15a e Y=15b. Assim: (15a)/(15b)=6/5, logo a/b=6/5. Algumas soluções para o problema, são:

   Se a= 6 e b= 5 então X= 90 e Y= 75
   Se a=12 e b=10 então X=180 e Y=150
   Se a=18 e b=15 então X=270 e Y=225
   

Relação entre o MMC e MDC

Uma relação importante e bastante útil entre o MMC e o MDC é o fato que o MDC(a,b) multiplicado pelo MMC(a,b) é igual ao produto de a por b, isto é:

MDC(a,b) × MMC(a,b) = a × b
MDC(12,15) × MMC(12,15)=12 × 15

Esta relação é útil quando precisamos obter o MMC e o MDC de dois números, basta encontrar um deles e usar a relação acima.

Exemplo: Para obter o MMC(15,20) e o MDC(15,20), o primeiro passo é obter o que for possível. Se MDC(15,20)=5 e 15 x 20=300, basta lembrar que MDC(15,20)×MMC(15,20)=15×20 e fazer:

5 × MMC(15,20) = 300

de onde se obtém que MMC(15,20)=60.

Exercício: Se a soma de dois números é 320 e o mínimo múltiplo comum entre eles é 600, quais são esses números? Qual é o máximo divisor comum entre eles?

Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser divisores de 600, logo devem pertencer ao conjunto D(600):

{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,75,100,120,150,200,300,600}

Pares de números deste conjunto que somam 320, são: 300 e 20 ou 200 e 120. O primeiro par não serve pois MMC(300,20)=300. Os números que servem são X=200 e Y=120 pois MMC(200,120)=600 e MDC(200,120)=40.

Primos entre si

Dois números naturais são primos entre si quando o MDC entre eles é igual a 1. Por exemplo, 16 não é um número primo, 21 também não é um número primo mas 16 e 21 são primos entre si pois MDC(16,21)=1.

Radiciação de números naturais

Radiciação de ordem n é o processo pelo qual dado um número natural a devemos determinar um número natural b tal que:

bⁿ = a

onde n é um número natural. É o processo inverso da potenciação.

Neste trabalho, representaremos a operação de radiciação por

Rⁿ[a], a^1/n, pot(a,1/n), pow(a,1/n), 

que se lê: raiz n-ésima de a. Uma notação simples e muito comum no meio científico é aquela que usa o acento circunflexo: a^(1/n).

Raiz quadrada: A raiz quadrada de um número não negativo (não somente natural) é um outro número não negativo b tal que:

b² = a

A raiz quadrada de um número a>0 pode ser denotada por a^1/2.

Exemplo: Para obter a raiz quadrada de 36 deve-se obter o valor numérico de b de forma que:

b² = b × b = 36

Neste trabalho, usaremos o processo de tentativa, para dividir 36 por seus divisores até que o divisor seja igual ao quociente

36÷2=18, 36÷3=12, 36÷4=9, 36÷6=6

Portanto 6 é a raiz quadrada de 36.

Raiz cúbica: A raiz cúbica de um número (não somente natural) a é um número b tal que:

b³ = b . b . b = a

A raiz cúbica de um número a pode ser denotada por a^1/3.

Exemplo: Para determinar a raiz cúbica de 64, deve-se obter um número b de forma a obter

b³=b×b×b=64

Por tentativa, temos:

1×1×1=1, 2×2×2=8, 3×3×3=27, 4×4×4=64

Portanto 4 é raiz cúbica de 64.

Em estudos mais avançados, pode-se aprender a extrair a raiz quadrada ou a raiz cúbica de um número não necessariamente natural, com qualquer precisão que se queira.

Calculando raízes com o browser Netscape

Para calcular raízes com o browser Netscape, digite (ou copie com Control+C) a linha de comando:

javascript:Math.sqrt(961)

(raiz quadrada, em inglês sqrt), ou

javascript:Math.pow(961,1/2)

exatamente da forma como está escrito, dentro da caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço).

Após isto, pressione a tecla ENTER. Você deverá ver uma nova janela como o número

31

que é a raiz quadrada de 961. Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.

Agora digite (ou copie com Control+C) na caixa:

javascript:Math.pow(343,1/3)

e pressione ENTER. Você obterá a raiz cúbica de 343 que é

6.999999999999999

que é uma excelente aproximação para 7, a raiz exata. Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.

Para obter a raiz n-ésima de um número não negativo M, digite na caixa:

javascript:Math.pow(M,1/n)

e pressione ENTER. Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) em seu navegador.