Critérios de divisibilidade
Sobre a divisibilidade
Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.
Divisibilidade no browser Netscape
Você deve digitar a linha de comando abaixo, exatamente como está, dentro da caixa com o nome do arquivo que está sendo acessado no momento (location=endereço):
javascript: M % N
Para saber se 960 é divisível por 45, digitamos:
javascript: 960 % 45
A seguir pressione ENTER e você verá uma nova janela com um número! Se o número for zero a divisão será exata, mas se for diferente de zero a divisão não será exata. Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.
Alguns critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.
Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.
Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.
Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:
| 16592 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -16 | Dobro de 8 (último algarismo) |
| 16576 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 1657 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -12 | Dobro de 6 (último algarismo) |
| 1645 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 164 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -10 | Dobro de 5 (último algarismo) |
| 154 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 15 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -8 | Dobro de 4 (último algarismo) |
| 7 | Diferença |
A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.
Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:
| 426 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -2 | Dobro do último algarismo |
| 424 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 42 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -8 | Dobro do último algarismo |
| 34 | Diferença |
A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.
Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.
Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).
Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.
Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:
| Número | 1 | 3 | 5 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Ordem | ímpar | par | ímpar | par |
O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.
Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:
| Número | 2 | 9 | 4 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Ordem | ímpar | par | ímpar | par | ímpar |
A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.
Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:
| Número | 2 | 5 | 4 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Ordem | ímpar | par | ímpar | par |
A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.
Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:
| Número | 6 | 5 | 2 | 0 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Ordem | ímpar | par | ímpar | par | ímpar |
A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11
Divisibilidade por 13
Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.
Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.
| 1656 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +8 | Quatro vezes o último algarismo |
| 1664 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 166 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +16 | Quatro vezes o último algarismo |
| 182 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 18 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +8 | Quatro vezes o último algarismo |
| 26 | Soma |
Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.
Divisibilidade por 16
Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.
Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.
Divisibilidade por 17
Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.
Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:
| 1859 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -40 | Cinco vezes o último algarismo |
| 1819 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 181 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -45 | Cinco vezes o último algarismo |
| 136 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 13 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -30 | Cinco vezes o último algarismo |
| -17 | Diferença |
A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.
Divisibilidade por 19
Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.
Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.
| 16592 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +16 | Dobro do último algarismo |
| 16608 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 1660 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +16 | Dobro do último algarismo |
| 1676 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 167 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +12 | Dobro do último algarismo |
| 179 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 17 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +18 | Dobro do último algarismo |
| 35 | Soma |
Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.
Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:
| 427 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +10 | Dobro do último algarismo |
| 437 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 43 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +14 | Dobro do último algarismo |
| 57 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 5 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +14 | Dobro do último algarismo |
| 19 | Soma |
Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.
Divisibilidade por 23
Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.
Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.
| 18590 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +63 | Dobro do último algarismo |
| 18653 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 1865 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +21 | Dobro do último algarismo |
| 1886 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 188 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +42 | Dobro do último algarismo |
| 230 | Soma |
Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.
Divisibilidade por 29
Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.
Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?
| 859 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -24 | Dobro do último algarismo |
| 835 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 83 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -15 | Dobro do último algarismo |
| 68 | Diferença |
Repete-se o processo com este último número.
| 6 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| -24 | Dobro do último algarismo |
| -18 | Diferença |
A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.
Divisibilidade por 31
Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.
Exemplo: 8598 é divisível por 31?
| 859 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +24 | Triplo do último algarismo |
| 883 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 88 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +9 | Triplo do último algarismo |
| 97 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 9 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +21 | Triplo do último algarismo |
| 30 | Soma |
A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.
Divisibilidade por 49
Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.
Exemplo: 8598 é divisível por 49?
| 859 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +40 | Cinco vezes o último algarismo |
| 899 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 89 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +45 | Cinco vezes o último algarismo |
| 134 | Soma |
Repete-se o processo com este último número.
| 13 | Número sem o último algarismo |
|---|---|
| +20 | Cinco vezes o último algarismo |
| 33 | Soma |
A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.